Limite intéressante

Bonjour
Je vous propose une limite intéressante ici que j'aimerais faire sans formule explicite.
C'est la limite de ((n!)^(1/n))/n quand tend vers plus infini.

Pas facile celle la !

Y'a une formule explicite pour la faire mais je pense doit y avoir une stratégie pour faire autrement

Faut simplement arriver a justifier que lim 1/n ln(n!) = +oo et c'est fini
Seulement mon raisonnement ne marche pas selon moi y'a une gaffe a un moment

A part avec l'approximation de stirling c'est compliqué

J'ai fais ça mais c'est faux a partir des limites d'exp je pense
https://i.servimg.com/u/f71/20/55/05/17/img_1811.jpg

Faut trouver 1/e en résultat (calculer avec équivalent stirling)

Mais l'équivalent de Stirling c'est pour x! en plus infini

En trichant j'arrive a un truc mais je cherche comment le justifier la